Разберем сегодня несколько задач по физике, связанных с вычислением потенциала сферы. Так уж сложилось, что новые задачи по физике появляются значительно реже, нежели, к примеру скажем, по математике. Оно и понятно, ведь придумать оригинальную физическую задачу далеко не просто. Из года в год в различных физических олимпиадах, вариантах ЕГЭ по физике и других диагностических работах появляются одни и те же задачи, причем зачастую авторы по разным причинам не меняют даже числовых значений входящих в условие параметров. Решение некоторых таких часто встречающихся (напрашивается назвать их «бородатыми», но мы назовем их лучше «популярными») задач приведено в данной статье.
Задача 1. В одну большую каплю сливают n одинаковых капелек ртути, заряженных до потенциала φ . Каков будет потенциал Φ этой капли? Считать, что капли имеют сферическую форму.
Решение. Потенциал заряженного шара (коим по условию является каждая из капель) определяется по формуле:
где Q — заряд шара, ε 0 = 8,85 · 10 -12 Ф/м — диэлектрическая постоянная, R — радиус шара.
Тогда потенциал образовавшейся после слияния капли можно определить так:
Общий заряд Q , по закону сохранения заряда, определяется суммой зарядов q каждой маленькой капли: Q = n · q . Как связать радиус R получившейся большой капли с радиусом r каждой малой? Используем то, что в результате слияния не изменяется объем ртути, то есть (предполагается, что вы помните формулу для вычисления объема шара, если нет — загляните сюда):
Итак, получаем:
есть по определению потенциал одной маленькой капли, поэтому окончательно получаем ответ:
Задача 2. Металлический шар радиусом r помещен в жидкий диэлектрик с плотностью ρ 2 . Плотность материала, из которого изготовлен шар, ρ 1 (ρ 1 > ρ 2). Чему равен заряд шара, если в однородном электрическом поле, направленном вертикально вверх, шар оказался взвешенным в жидкости? Электрическое поле создается двумя параллельными пластинами, расстояние между которыми d , а разность потенциалов U .
Решение.
Поскольку шар находится в равновесии, векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю
На шар действуют три силы: сила тяжести mg = ρ 1 gV (направлена вниз), выталкивающая сила Архимеда F A = ρ 2 gV (направлена вверх), сила Кулона F q = qE (направлена вверх). То, что сила Кулона направлена вверх следует из того, что плотность материала шара больше плотности жидкого диэлектрика, в котором он плавает. Это означает, что он утонул бы, не будь он заряжен. Спасает его от этого дополнительная сила Кулона, сонаправленная с выталкивающей силой Архимеда.
Шар находится в равновесии, значит векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:
Или в проекции на вертикальную ось:
С учетом написанных выше формул:
С учетом формулы для объема шара (V = 4/3πr 3) и формулы, отражающей взаимосвязь напряженности поля с напряжением между двумя точками (U =E·d ), получаем окончательный ответ:
Задача 3. Проводник длиной l движется с постоянным ускорением a , направленным вдоль его оси. Определите напряжение, возникающее между концами проводника; m e — масса электрона, |e | — элементарный заряд.
Решение. В процессе движения стержня часть электронов по инерции смещается к одному из его концов (ситуация напоминает поезд в метро — стержень — и едущих в нем пассажиров — электроны).
Процесс перетекания будет продолжаться до тех пор, пока возникшее в стержне электрическое поле не начнет действовать на электроны с силой |e |E , где E — напряженность этого поля, равной по величине m e a . Напряженность поля связана с напряжением между концами проводника соотношением: U = E · l . После всех подстановок и преобразований получает ответ:
Задачи взяты из сборника . Все задания в этом сборнике приведены с ответами, поэтому при желании вы можете самостоятельно оценить свои силы в их решении. Присылайте свои вопросы и интересные задачи, и мы обязательно разберем их в одной из следующих статей.
Сергей Валерьевич
Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены до одинакового потенциала 0,1 В. Определите потенциал большой шарообразной капли, получившейся в результате слияния малых капель.
Задача №6.4.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
\(N=1000\), \(\varphi_0=0,1\) В, \(\varphi-?\)
Вы должны понимать, что объем большой шарообразной капли \(V\) равен сумме объемов \(V_0\) всех маленьких капелек ртути, которых согласно условию всего \(N\) штук. Поэтому имеет место равенство:
Пусть радиус большой капли равен \(R\), радиус маленьких капелек – \(r\), тогда, вспомнив формулу из математики для определения объема шара, можно записать формулу (1) в следующем виде:
\[\frac{4}{3}\pi {R^3} = N \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3}\]
\[{R^3} = N{r^3}\]
\[\frac{R}{r} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(2)\]
Запишем формулы для определения электроемкостей большой \(C\) и маленьких \(C_0\) капель:
\[\left\{ \begin{gathered}
C = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\
{C_0} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим верхнее равенство на нижнее:
\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{R}{r}\]
Если учесть ранее полученное (2), имеем:
\[\frac{C}{{{C_0}}} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(3)\]
Из закона сохранения заряда следует, что между зарядом большой капли \(q\) и зарядами \(q_0\) капель в количестве \(N\) штук существует соотношение:
\[\frac{q}{{{q_0}}} = N\;\;\;(4)\]
Запишем формулы для определения потенциалов большой \(\varphi\) и маленьких \(\varphi_0\) капель через заряды и электроемкости:
\[\left\{ \begin{gathered}
\varphi = \frac{q}{C} \hfill \\
{\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим верхнее равенство на нижнее, тогда:
\[\frac{\varphi }{{{\varphi _0}}} = \frac{{q \cdot {C_0}}}{{{q_0} \cdot C}}\]
Учитывая (3) и (4), получим:
\[\frac{\varphi }{{{\varphi _0}}} = \frac{N}{{{N^{\frac{1}{3}}}}}\]
\[\varphi = {\varphi _0}{N^{\frac{2}{3}}}\]
Задача решена в общем виде, считаем ответ:
\[\varphi = 0,1 \cdot {1000^{\frac{2}{3}}} = 10\;В\]
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Основы > Задачи и ответы > Электрическое поле
Потенциал. Работа электрических сил.
1
Найти потенциал шара радиуса R = 0,1 м, если на расстоянии r=10м от его поверхности потенциал электрического поля
Решение:
Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равною заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому потенциал в точке, находящейся на расстоянии R + r от центра шара,
j
r
= kq/(R + r); отсюда q = (R + r)
j
r
/k. Потенциал на поверхности шара
2 N одинаковых шарообразных капелек ртути одноименно заряжены до одного и того же потенциала j . Каков будет потенциал Ф большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?
Решение:
Пусть заряд и радиус каждой капельки ртути равны q и
r
. Тогда ее потенциал
j
= kq
/
r. Заряд большой капли Q = Nq, и если ее радиус равен
R
, то ее потенциал Ф = kQ/R = kN
q
/R
= N
j
r
/
R. Объемы маленькой и большой капель
и
связаны между собой соотношением V=N
u
. Следовательно,
и потенциал
3
В центре металлической сферы радиуса R = 1 м, несущей положительный заряд Q=10нКл, находится маленький шарик с положительным или отрицательным зарядом |q| = 20 нКл. Найти потенциал
j
электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r=10R от центра сферы.
Решение:
В результате электростатической индукции на внешней и внутренней поверхностях сферы появятся равные по модулю, но противоположные по знаку заряды (см. задачу
и рис. 332). Вне сферы потенциалы электрических полей, создаваемых этими зарядами, в любой точке равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому потенциал суммарного поля индуцированных зарядов равен нулю. Таким образом, остаются лишь поля, создаваемые вне сферы зарядом BQ на ее поверхности и зарядом шарика q. Потенциал первого поля в точке удаленной от центра сферы на расстояние
r
,
, а потенциал второго поля в той же точке
. Полный потенциал
. При
q
=+20нКл
j
=27В; при
q
=-20нКл
j
=-9В.
4 До какого потенциала можно зарядить находящийся в воздухе (диэлектрическая проницаемость e =1) металлический шар радиуса R = 3 см, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой в воздухе, Е=3 МВ/м?
Решение:
Наибольшую напряженность электрическое поле имеет у поверхности шара:
Потенциал шара
; отсюда
j
=
ER
=90 В.
5 Два одинаково заряженных шарика, расположенных друг от друга на расстоянии r = 25 см, взаимодействуют с силой F=1 мкН. До какого потенциала заряжены шарики, если их диаметры D = 1 см?
Решение:
Из закона Кулона определяем заряды шариков:
. Заряд q, находящийся на шарике радиуса R =
D/
2, создает на поверхности этого шарика потенциал
В том месте, где находится этот шарик, заряд другого шарика создает потенциал
. Таким образом, потенциал каждого шарика
6
В вершинах квадрата расположены точечные заряды (в нКл): q1 = +1, q2=-2, q3= +3, q4=-4 (рис. 71). Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре квадрата (в точке А). Диагональ квадрата 2а = 20 см.
Решение:
Потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме
потенциалов, создаваемых всеми зарядами в этой точке:
Напряженность поля в центре квадрата является векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в этой точке:
Модули этих напряженностей
Удобно сначала сложить попарно векторы, направленные по одной диагонали в противоположные стороны (рис. 339): E
1
+ E
3
и
E
2
+
E
4
. При данных зарядах сумма E
1
+ E
3
по модулю равна сумме Е
2
+ Е
4
. Поэтому результирующая напряженность Е направлена по биссектрисе угла между диагоналями и
составляет с этими диагоналями углы
a
=45°. Ее модуль
E
=2545 В/м.
7 Найти потенциалы и напряженности электрического поля в точках а и b, находящихся от точечного заряда q=167нКл на расстояниях r а = 5 см и r b = = 20 см, а также работу электрических сил при перемещении точечного заряда q 0 = 1 нКл из точки а в точку b.
Решение:
b
Потенциалы в этих точках
Работа электрических сил при перемещении заряда q0 из точки а в точку b
8
Точечный положительный заряд q создает в точках а и b (рис. 72) поля с напряженностями Еа и Еb. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда q0 из точки а в точку b.
Решение:
Напряженности электрического поля в точках а и
b
равны
где
-расстояния точек а и b от
заряда q. Потенциалы в точках а и b равны
отсюда работа, необходимая для перемещения
заряда q
0
из точки а в точку
b
,
9 В атомной физике энергию быстрых заряженных частиц выражают в электрон-вольтах. Электрон-вольт (эВ) - это такая энергия, которую приобретает электрон, пролетев в электрическом поле путь между точками, разность потенциалов между которыми равна 1 В. Выразить электрон-вольт в джоулях. Какую скорость имеет электрон, обладающий энергией 1 эВ?
Решение:
При прохождении электроном разности потенциалов
V
= 1 В
электрические силы совершают над электроном работу
Эта работа равна кинетической энергии,
приобретенной электроном, т.е.
Поскольку
10 Электрон летит от точки а к точке b, разность потенциалов между которыми V= 100 В. Какую скорость приобретает электрон в точке b, если в точке а его скорость была равна нулю?
Решение:
Работа электрических сил равна изменению кинетической энергии электрона:
1 1 Какую работу необходимо совершить при переносе точечного заряда q0=30 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=10 см от поверхности заряженного металлического шара? Потенциал на поверхности шара j = 200 В, радиус шара R = 2 см.
Решение:
Потенциал на поверхности шара
j
= kq/R; отсюда его заряд q =
j
R/k. Потенциал на расстоянии R + г от центра шара
При переносе заряда q
0
из точки с потенциалом
в бесконечность работа электрических сил
мкДж. Такую же работу необходимо совершить против электрических сил при переносе заряда q
0
из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии
r
от поверхности шара.
1 2 При переносе точечного заряда q0=10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=20 см от поверхности заряженного металлического шара, необходимо совершить работу А =0,5 мкДж. Радиус шара R=4 см. Найти потенциал j на поверхности шара.
Решение:
1
3
Два одинаковых заряда q0=q=50 мкКл находятся на расстоянии r
а
=1 м друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r
b
=0,5 м?
Решение:
1
4
Два заряда qa=2 мкКл и qb=5 мкКл расположены на расстоянии r=40 см друг от друга в точках а и b (рис. 73). Вдоль прямой cd, проходящей параллельно прямой ab на расстоянии d=30см от нее, перемещается заряд q0=100мкКл. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q0 из точки с в точку d, если прямые ас и bd перпендикулярны к прямой cd.
Решение:
1
5
Два параллельных тонких кольца радиуса R расположены на расстоянии d друг от друга на одной оси. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q0 из центра первого кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределен заряд q1, а на втором - заряд q2.
Решение:
Найдем потенциал, создаваемый зарядом
q
, находящимся
на кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстоянии
х от его центра (рис. 340, а) и, следовательно, на расстояниях
от точек, лежащих на кольце. Разобьем кольцо на отрезки, малые по сравнению с расстоянием
r
. Тогда заряд
, находящийся на каждом отрезке (i - номер отрезка), можно рассматривать как точечный. Он создает в точке А потенциал
. Потенциал, создаваемый в точке А всеми отрезками кольца (отстоящими от этой точки на одно и то же расстояние
r
), будет
В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т. е. заряд всего кольца q; поэтому
Потенциал Ф1 поля в центре первого кольца складывается из потенциала, создаваемого зарядом q
1
, находящимся на первом кольце, для которого х=0, и потенциала, создаваемого зарядом q2, находящимся на втором кольце, для которого x=d (рис. 340,
б). Аналогично находится потенциал в центре второго кольца:
Окончательно для работы имеем
1 6 На тонком кольце радиуса R равномерно распределен заряд q. Какова наименьшая скорость v, которую необходимо сообщить находящемуся в центре кольца шарику массы т с зарядом q0, чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?
Решение:
Если заряды q0 и q одного знака, то удалить шарик от кольца в бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую скорость. Если же знаки зарядов разные, то сумма кинетической и потенциальной энергий шарика в центре кольца должна быть равна нулю, так как она равна нулю в бесконечности:
, где
j
=kq/R - потенциал в центре кольца (см. задачу
17
); отсюда
1 7 На шарик радиуса R=2 см помещен заряд q=4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение из бесконечно удаленной от него точки?
Решение:
1
8
Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты Н свободно падает незаряженный металлический шарик массы т. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд q? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна V, расстояние между пластинами равно d.
Решение:
Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е= V/d, направленной вертикально. После удара шарик приобретает заряд того же знака, что и нижняя пластина конденсатора. Поэтому на него будет действовать со стороны электрического поля сила F=qE=qV
/
d, направленная вверх. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии равно работе внешних сил (в данном случае - электрических). Учитывая, что удар абсолютно упругий и что в начальный и конечный моменты шарик имеет лишь потенциальную энергию в поле силы тяжести, получим
откуда
1 9 Два шарика с одинаковыми зарядами q расположены на одной вертикали на расстоянии Н друг от друга. Нижний шарик закреплен неподвижно, а верхний, имеющий массу m , получает начальную скорость v, направленную вниз. На какое минимальное расстояние h приблизится верхний шарик к нижнему?
Решение:
Согласно закону сохранения энергии
где qV-работа электрических сил, V=kq/H-kq/h - разность потенциалов точек начального и конечного положения верхнего шарика. Для определения h получаем квадратное уравнение:
Решая его, найдем
(знак плюс перед корнем соответствовал бы максимальной высоте, достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную скорость, направленную вверх).
20 Найти максимальное расстояние h между шариками в условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик имеет отрицательный заряд q, а начальная скорость v верхнего шарика направлена вверх.
Решение:
2
1
Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки а к точке b, увеличил свою скорость с v
a
=1000 км/с до v
b
= 3000 км/с. Найти разность потенциалов между точками а и b электрического поля.
Решение:
Работа, совершенная над электроном электрическим полем,
идет на увеличение кинетической энергии электрона:
откуда
где
g
- удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрицательна. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость электрона увеличивается при его движении в сторону возрастания потенциала.
2 2 В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью v = 20 000 000 м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние h от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=5 см, разность потенциалов между пластинами v=200 В.
Решение:
За время пролета t = l/v электрон смещается
в направлении действия силы на расстояние
где
g
- удельный заряд электрона.
2 3 Положительно заряженная пылинка массы г находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально. Между пластинами создана разность потенциалов V 1 =6000 В. Расстояние между пластинами d=5см. На какую величину необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд уменьшился на q 0 =1000 e?
Решение:
На пылинку действуют сила тяжести mg и сила
со стороны электрического поля, где
-начальный заряд пылинки
и E1 = V
1
/d-напряженность электрического поля в конденсаторе.
Чтобы пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина
конденсатора должна быть заряжена отрицательно. При равновесии
mg
=
F, или
; отсюда
.
Так как уменьшение заряда пылинки на
q
0=
1000
e равносильно увеличению положительного заряда на q0, то новый заряд пылинки
q
2 =
q1
+
q0.
При равновесии
, где
V
2
-новая разность потенциалов между пластинами. Учитывая выражения для q2,
q1
и q0, найдем
Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на V2-
V1
= - 980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так как заряд пылинки увеличился).
2 4 Решить предыдущую задачу, считая пылинку заряженной отрицательно.
Решение:
Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена
положительно. Новый заряд пылинки q2 = q
1
-qo, где qo=
1000
e.
Поэтому (см. задачу
23
)
Напряжение между пластинами нужно увеличить на V2-
V1
= 1460 В.
2
5
В электрическое поле плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, помещена капелька масла, имеющая заряд q=1 е. Напряженность электрического поля подобрана так, что капелька покоится. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V =500 В, расстояние между пластинами d=0,5 см. Плотность масла
. Найти радиус капельки масла.
Решение:
При равновесии
откуда
2
6
Внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, помещена диэлектрическая палочка длины l=1 см с металлическими шариками на концах, несущими заряды +q и - q(|q|=1 нКл). Палочка может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=10см. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть палочку вокруг оси на 180° по отношению к тому положению, которое она занимает на рис. 74?
Решение:
Напряженность электрического поля в конденсаторе E=V/d.
Разность потенциалов между точками, где расположены заряды,
где
-потенциал в точке расположения заряда + q, а
-потенциал в точке расположения заряда - q; при этом
. При повороте палочки электрические силы совершают работу по переносу заряда - q из точки а в точку
b
и заряда + q из точки b в точку а
,
равную
Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.
2 7 Внутри плоского конденсатора помещен диэлектрический стержень длины l=3 см, на концах которого имеются два точечных заряда + q и -q (|q|=8нКл). Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=8 см. Стержень ориентирован параллельно пластинам. Найти момент сил, действующий на стержень с зарядами.
Решение:
2
8
На концах диэлектрической палочки длины l=0,5 см прикреплены два маленьких шарика, несущих заряды - q и +q (|q|=10 нКл). Палочка находится между пластинами конденсатора, расстояние между которыми d=10cм (рис.75). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора V палочка разорвется, если она выдерживает максимальную силу растяжения F=0,01 Н? Силой тяжести пренебречь.
Решение:
2
9
Металлический шарик 1 радиуса R1=1 см прикреплен с помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего весы уравновешены гирями (рис. 76). Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2 радиуса R2=2 см. Расстояние между шариками h = 20 см. Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для восстановления равновесия надо снять с чашки весов гирю массы m = 4мг. До какого потенциала
j
был заряжен шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1?
Решение:
Если до замыкания шарик 2 имел заряд 0, то сумма зарядов шариков 1 и 2 после замыкания q
1
+q2 = q. Потенциалы же их после замыкания одинаковы:
. Следовательно,
После замыкания шарик 2 действует на шарик 1 с силой
откуда
Начальный потенциал шарика 2
